Lieova algebra
Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.
Definice
[editovat | editovat zdroj]Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor nad tělesem spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru
- ,
![{\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]:V\times V\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/693ff7121e05978df0d2c791b3ec3250a9630818)
které pro všechna splňuje vlastnosti:
- Alternativita,
- .
![{\displaystyle [x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ccb967db9ab0773c5aa2e0fc234cd33373f193)
- Jacobiho identita,
- .
![{\displaystyle [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95eabacf905ea58f824b3b3da0bfc319b3be2590)
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
- Uvažujme libovolné dva prvky . S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
- ,
- z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
- ,
- z čehož plyne , a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.
![{\displaystyle [x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]=[x,y]+[y,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057f0470f45b7be6feda55708e69af887bfb6069)
![{\displaystyle [x,x]=-[x,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ffd2a515d3bfc2058a5d417ad498c144930e7a)
![{\displaystyle 2[x,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622842d1d587c729f25206b3e6b6abc039c450b9)
Příklady
[editovat | editovat zdroj]- Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou:
- Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem:
![{\displaystyle [x,y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb3ac5611c95c794cec85401f417c5e0146185d)
![{\displaystyle [{\vec {x}},{\vec {y}}]:={\vec {x}}\times {\vec {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e009d4f8b922a7cd75a16a0f241ed3bfe71b1d8)
- matice s nulovou stopou a komutátorem
- antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
- antihermitovské matice spolu s komutátorem
- funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
- vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
- Tečný prostor Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou , kde je derivace zobrazení v . Této Lieovy algebře se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je pouze tečný prostor G a obyčejný komutátor matic.
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
![{\displaystyle [x,y]:=\mathrm {ad} (x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d74b7931e7666f6c154744eeebbc45eb41d254d)
![{\displaystyle [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7bd6292c6023626c6358bfd3943a031b27d663)
